矩阵（Matrices）

定义一组数（m行，n列），表示为\(A_{mn}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn}\end{pmatrix}\)

矩阵的运算

矩阵加减法：\(A_{mn}+B_{mn}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & … & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & … & b_{2n} \\ … & … & … & … \\ b_{m1} & b_{m2} & … & b_{mn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & … & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & … & a_{2n}+b_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & … & a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}\)

2个等大小的矩阵相加减，即每个元素相加减。

矩阵的数乘：\(kA_{mn}=k\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & … & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & … & ka_{2n} \\ … & … & … & … \\ ka_{m1} & ka_{m2} & … & ka_{mn}\end{pmatrix}\)

1个数乘矩阵，即每个元素都与这个数相乘。

矩阵的乘法（Matrix-Matrix Multiplication）

若 \(A_{ij}\) 与 \(B_{mn}\) 相乘，必须满足 \(j = m\)，即A矩阵的列数等于B矩阵的行数。

若A、B矩阵可乘，则有：\(A_{ij} \times B_{mn}=C_{in}\)

注意：矩阵的乘法不满足交换律，但满足结合率、分配律。\((AB)C=A(BC) \\ A(B+C)=AB+AC \\ (A+B)C=AC+BC\)

那么如何计算矩阵相乘呢？

记 \(A_{ij}\) 矩阵的第o行表示为 \(\overline{a_{o}}=\begin{pmatrix} a_{o1} & a_{o2} & … & a_{oj} \end{pmatrix}\)

记 \(B_{mn}\) 矩阵的第p列表示为 \(\overline{b_{p}}=\begin{pmatrix} b_{1p} \\ b_{2p} \\ … \\ b_{mp} \end{pmatrix}\)

\(A_{ij} \times B_{mn}=\begin{pmatrix} \overline{a_{1}} \cdot \overline{b_{1}} & \overline{a_{1}} \cdot \overline{b_{2}} & … & \overline{a_{1}} \cdot \overline{b_{n}} \\ \overline{a_{2}} \cdot \overline{b_{1}} & \overline{a_{2}} \cdot \overline{b_{2}} & … & \overline{a_{2}} \cdot \overline{b_{n}} \\ … & … & … & … \\ \overline{a_{i}} \cdot \overline{b_{1}} & \overline{a_{i}} \cdot \overline{b_{2}} & … & \overline{a_{i}} \cdot \overline{b_{n}}\end{pmatrix}\)

即 \(C_{in}\) 的每个元素 \(c_{op}\) 为A第o行组成的向量和B第p列组成向量的点乘（Dot）。

矩阵的转置（Transpose of a Matrix）

将 \(A_{mn}\) 行列互换得到 \(B_{nm}=A_{nm}=(A_{mn})^{T}\) ，称B为A的转置矩阵。

其性质有：\((AB)^{T}=B^T A^T\)

单位矩阵和逆（Identity Matrix and Inverses）

定义单位矩阵 \(I_{n} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ … & … & … & … \\ 0 & 0 & … & 1\end{pmatrix}\)

对于满足等式 \(AB=BA=I\) 的矩阵B，称B矩阵为A矩阵的逆矩阵，记为 \(B=A^{-1}, AA^{-1}=A^{-1}A=I\)。

其性质有：\((AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}\)

向量的矩阵形式（Vector multiplication in Matrix form）

对向量将其表示为Nx1的矩阵（N维） \(\vec{a} = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a}\end{pmatrix} \\ \vec{b} = \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b}\end{pmatrix}\)

那么点乘（Dot）有 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a^T b = \begin{pmatrix} x_{a} & y_{a} & z_{a}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b}\end{pmatrix} =x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} + z_{a}z_{b} \)

叉乘（Cross）有 \(\vec{a} \times \vec{b} = A^{*} b=\begin{pmatrix} 0 & -z_{a} & y_{a} \\ z_{a} & 0 & -x_{a} \\ -y_{a} & x_{a} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b}\end{pmatrix} \) （\(A^*\)为向量a的伴随矩阵）

如何理解最后一步？由叉乘的性质，我们有 \(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}\) 即有矩阵 \((A^*)_{3×3} \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)

小结

叉乘最后一步推导写了个大概，大学里高等代数的内容忘的差不多了……后续完全明白了再补上:-p